Here’s to new beginnings.
Here’s to ~ は「~に乾杯」という慣用表現です。あらたまっての乾杯だと、I would like to propose a toast to ~ となります。(もちろん他にも表現はありますが)
で、何に乾杯するのかというと、new beginnings 。beginnings と複数になっているところがミソです。新年を期して始めることがひとつだけだと寂しいですよね。欲張って、いろいろ始めちゃいましょう。
ちょっとだけ意訳します。
いろいろチャレンジしよう! 乾杯!
英語圏だと1月2日が仕事初めになるのですが、今年は2、3日が週末にあたり、4日が仕事初め。期せずしてわが国の三が日明けと重なって、「~初め」的なカレンダーになったというわけですね。